Exercice 15

1. Calculons les deux produits. $$AB=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\3&1&1\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&0\\4&4&3\end{pmatrix}}$$

Détail de la deuxième ligne de $AB$ : elle vaut $0\times L_1(B)+1\times L_2(B)+1\times L_3(B)=(0\,;1\,;0)+(1\,;0\,;0)=(1\,;1\,;0)$.

On constate donc que $\boxed{AB=AC \quad\text{alors que}\quad B\neq C.}$

2. Raisonnons par l'absurde. Supposons $A$ inversible. Alors $A^{-1}$ existe, et en multipliant l'égalité $AB=AC$ à gauche par $A^{-1}$ : $$A^{-1}(AB)=A^{-1}(AC) \iff \left(A^{-1}A\right)B=\left(A^{-1}A\right)C \iff I_{3} B=I_{3} C \iff B=C$$ Or $B$ et $C$ sont manifestement différentes (leurs premières colonnes ne coïncident pas). C'est une contradiction, donc l'hypothèse de départ est fausse : $$\boxed{A \text{ n'est pas inversible.}}$$

On retiendra qu'on ne peut jamais simplifier une égalité matricielle par un facteur commun sans avoir d'abord vérifié que ce facteur est inversible — l'exercice 7 avait déjà donné un avertissement en ce sens.