Exercice 14

1. $\det(A_{m})=m(m-1)-2\times 3=\boxed{m^{2}-m-6}$.

2. D'après la Proposition 4 du cours, $A_{m}$ n'est pas inversible si et seulement si $m^{2}-m-6=0$. Le discriminant vaut $25$, d'où $\boxed{m=-2 \text{ ou } m=3}$.

3. Pour $m=0$, $\det(A_{0})=-6\neq 0$ et : $$A_{0}^{-1}=-\frac{1}{6}\begin{pmatrix} -1&-2\\-3&0 \end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix} \frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\[1mm] \frac{1}{2}&0 \end{pmatrix}}$$ Vérification : $\begin{pmatrix} 0&2\\3&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\ \frac{1}{2}&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0\\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}&1 \end{pmatrix}=I_{2}$.