Exercice 13

On rappelle que $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ est inversible si et seulement si son déterminant $\det(A)=ad-bc$ est non nul, et qu'alors $$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$$

a) $\det(A)=4\times 5-10\times 2=20-20=0$, donc $$\boxed{A \text{ n'est pas inversible.}}$$ On remarque que la seconde ligne est la moitié de la première : les deux lignes sont proportionnelles, ce qui explique l'annulation du déterminant.

b) $\det(A)=4\times 3-5\times 2=12-10=2\neq 0$, donc $A$ est inversible et $$A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3&-5\\-2&4\end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix}\frac{3}{2}&-\frac{5}{2}\\[1mm]-1&2\end{pmatrix}}$$ Vérification : $A\times A^{-1}=\begin{pmatrix}6-5&-10+10\\3-3&-5+6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\mathrm{Id}$, ce qui confirme le résultat.

c) $\det(A)=1\times 4-2\times(-2)=4+4=8\neq 0$, donc $A$ est inversible et $$A^{-1}=\frac{1}{8}\begin{pmatrix}4&-2\\2&1\end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\[1mm] \frac{1}{4}&\frac{1}{8}\end{pmatrix}}$$

d) $\det(A)=(-0{,}5)\times 2-4\times 0{,}25=-1-1=-2\neq 0$, donc $A$ est inversible et $$A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&-4\\-0{,}25&-0{,}5\end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix}-1&2\\0{,}125&0{,}25\end{pmatrix}}$$ Attention aux signes : le facteur $\frac{1}{\det(A)}$ est ici négatif, il change le signe des quatre coefficients de la matrice $\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$.