Exercice 12

1. On obtient $N^{2}=\begin{pmatrix} 0&0&3\\0&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix}$ et $N^{3}=N^{2}\times N=\boxed{0}$. Pour tout $k\geqslant 3$, $N^{k}=N^{3}N^{k-3}=0$.

2. Comme $N$ commute avec $I_{3}$ : $$A^{2}=(I_{3}+N)(I_{3}+N)=I_{3}+2N+N^{2}, \qquad A^{3}=A^{2}(I_{3}+N)=I_{3}+3N+3N^{2}+N^{3}=I_{3}+3N+3N^{2}.$$

3. On note $\mathcal{P}_{n}$ : « $A^{n}=I_{3}+nN+\frac{n(n-1)}{2}N^{2}$ ».

Initialisation : Pour $n=0$, $A^{0}=I_{3}$ et le membre de droite vaut $I_{3}+0+0=I_{3}$.

Hérédité : Si $\mathcal{P}_{k}$ est vraie, alors, en utilisant $N^{3}=0$ : $$\begin{aligned} A^{k+1}=A^{k}(I_{3}+N) &= \left(I_{3}+kN+\frac{k(k-1)}{2}N^{2}\right)(I_{3}+N)\\ &= I_{3}+(k+1)N+\left(k+\frac{k(k-1)}{2}\right)N^{2}+\frac{k(k-1)}{2}N^{3}\\ &= I_{3}+(k+1)N+\frac{(k+1)k}{2}N^{2}, \end{aligned}$$ ce qui est $\mathcal{P}_{k+1}$.

Conclusion : Par récurrence, $\mathcal{P}_{n}$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.

4. En remplaçant $N$ et $N^{2}$ par leurs tableaux : $$\boxed{A^{n}=\begin{pmatrix} 1&n&2n+\frac{3n(n-1)}{2}\\[1mm] 0&1&3n\\ 0&0&1 \end{pmatrix}}$$ Pour $n=1$, on retrouve $\begin{pmatrix} 1&1&2\\0&1&3\\0&0&1 \end{pmatrix}=A$. Pour $n=5$, le coefficient en haut à droite vaut $10+30=40$, ce que confirme un calcul direct.

L'exercice 27 justifiera cette formule d'un seul coup grâce à la formule du binôme.