Exercice 11

1. Calculons les puissances de $A=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$ : $$A^{2}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+1&-1-1\\-1-1&1+1\end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}}$$ On constate que $A^{2}=2A$, ce qui simplifie le calcul suivant : $$A^{3}=A^{2}\times A=2A\times A=2A^{2}=2\times 2A=4A =\boxed{\begin{pmatrix}4&-4\\-4&4\end{pmatrix}}$$

2. On a $A^{1}=A$, $A^{2}=2A$ et $A^{3}=4A$ : les coefficients $1$, $2$, $4$ sont les puissances successives de $2$. D'où la conjecture : $$\boxed{\text{pour tout } n\in\mathbb{N}^{*},\quad A^{n}=2^{\,n-1}A}$$

3. Considérons la propriété, définie pour tout entier naturel non nul $n$ : $$\forall n\in\mathbb{N}^{*},\quad P_n : «\,A^{n}=2^{\,n-1}A\,»$$

Initialisation : Pour $n=1$, on a $A^{1}=A$ et $2^{\,1-1}A=2^{0}A=A$. Les deux membres coïncident, donc $P_1$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}^{*}$. Supposons $P_k$ vraie, c'est-à-dire $A^{k}=2^{\,k-1}A$. Alors : $$A^{k+1}=A^{k}\times A=2^{\,k-1}A\times A=2^{\,k-1}A^{2}=2^{\,k-1}\times 2A=2^{\,k}A$$ en utilisant $A^{2}=2A$ établi à la question 1. C'est exactement $P_{k+1}$, qui est donc vraie.

Conclusion : Par principe de récurrence, la propriété $P_n$ est vraie pour tout entier naturel non nul $n$ : $$\boxed{\forall n\in\mathbb{N}^{*},\quad A^{n}=2^{\,n-1}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2^{\,n-1}&-2^{\,n-1}\\-2^{\,n-1}&2^{\,n-1}\end{pmatrix}}$$

4. On reprend la même démarche pour $B=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$ : $$B^{2}=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+0&1+2\\0+0&0+4\end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix}1&3\\0&4\end{pmatrix}}$$

Conjecture. Le coefficient en bas à droite vaut $2$, $4$, $8$, soit $2^{n}$ ; celui en haut à droite vaut $1$, $3$, $7$, soit $2^{n}-1$. D'où : $$\boxed{\text{pour tout } n\in\mathbb{N}^{*},\quad B^{n}=\begin{pmatrix}1&2^{n}-1\\0&2^{n}\end{pmatrix}}$$

Démonstration. Considérons la propriété : $$\forall n\in\mathbb{N}^{*},\quad Q_n : «\,B^{n}=\begin{pmatrix}1&2^{n}-1\\0&2^{n}\end{pmatrix}\,»$$

Initialisation : Pour $n=1$ : $\begin{pmatrix}1&2^{1}-1\\0&2^{1}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}=B$. Donc $Q_1$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}^{*}$. Supposons $Q_k$ vraie. Alors : $$B^{k+1}=B^{k}\times B =\begin{pmatrix}1&2^{k}-1\\0&2^{k}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 1+2\left(2^{k}-1\right)\\[1mm] 0 & 2\times 2^{k}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 2^{k+1}-1 \\ 0 & 2^{k+1}\end{pmatrix}$$ car $1+2^{k+1}-2=2^{k+1}-1$. C'est exactement $Q_{k+1}$, qui est donc vraie.

Conclusion : Par principe de récurrence, pour tout entier naturel non nul $n$ : $$\boxed{B^{n}=\begin{pmatrix}1&2^{n}-1\\0&2^{n}\end{pmatrix}}$$

On remarquera la différence de méthode : pour $A$, l'hérédité repose sur la relation $A^{2}=2A$ ; pour $B$, elle repose sur un calcul direct de produit. Dans les deux cas, c'est l'observation des premières puissances qui a guidé la conjecture.