Exercice 10

1. D'après la Proposition 3 du cours, on élève chaque coefficient diagonal à la puissance voulue : $$D^{2}=\begin{pmatrix} 4&0&0\\0&1&0\\0&0&\frac{1}{4} \end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad \boxed{D^{n}=\begin{pmatrix} 2^{n}&0&0\\0&(-1)^{n}&0\\0&0&\frac{1}{2^{n}} \end{pmatrix}}$$

2. On en déduit : $$D^{2025}=\begin{pmatrix} 2^{2025}&0&0\\0&-1&0\\0&0&2^{-2025} \end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad D^{2026}=\begin{pmatrix} 2^{2026}&0&0\\0&1&0\\0&0&2^{-2026} \end{pmatrix}$$ Seul le coefficient central dépend de la parité de l'exposant.

3. On pose $E=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}&0&0\\0&-1&0\\0&0&2 \end{pmatrix}$. Un calcul direct donne $DE=ED=I_{3}$, donc : $$\boxed{D \text{ est inversible et } D^{-1}=E}$$

4. Une matrice diagonale de coefficients diagonaux $\lambda_{1}$, …, $\lambda_{n}$ est inversible si et seulement si tous les $\lambda_{i}$ sont non nuls, et son inverse est alors la matrice diagonale de coefficients $\frac{1}{\lambda_{1}}$, …, $\frac{1}{\lambda_{n}}$. En effet, si tous les $\lambda_{i}$ sont non nuls, le produit des deux matrices diagonales vaut $I_{n}$ ; si l'un d'eux, disons $\lambda_{1}$, est nul, alors pour toute matrice $B$, la première ligne de $DB$ est nulle, donc $DB\neq I_{n}$.