Exercice 9

1. Calculons les carrés et les cubes. $$A^{2}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I_{3}}$$ On en déduit immédiatement $A^{3}=A^{2}\times A=I_{3}\times A=\boxed{A}$.

2. Pour $A$ : comme $A^{2}=I_{3}$, les puissances de $A$ ne prennent que deux valeurs et se répètent de $2$ en $2$ : $$\boxed{A^{n}=\begin{cases} I_{3} & \text{si } n \text{ est pair} \\ A & \text{si } n \text{ est impair} \end{cases}}$$

Pour $B$ : comme $B^{3}=I_{3}$, les puissances de $B$ se répètent de $3$ en $3$, selon le reste $r$ de la division euclidienne de $n$ par $3$ : si $n=3q+r$, alors $B^{n}=\left(B^{3}\right)^{q}B^{r}=B^{r}$, d'où $$\boxed{B^{n}=\begin{cases} I_{3} & \text{si } r=0 \\ B & \text{si } r=1 \\ B^{2} & \text{si } r=2 \end{cases}}$$

Interprétation : multiplier par $A$ revient à échanger la première et la troisième ligne d'une matrice en laissant la deuxième inchangée — le faire deux fois de suite remet donc tout en place, ce qui explique que $A^{2}=I_{3}$. Multiplier par $B$ fait au contraire tourner les trois lignes d'un cran ; il faut répéter l'opération trois fois pour retrouver la disposition initiale, d'où $B^{3}=I_{3}$.

3. $2025$ est impair, donc $$\boxed{A^{2025}=A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$$ Par ailleurs $2025=3\times 675$ : le reste de la division euclidienne de $2025$ par $3$ est nul, et $$B^{2025}=\left(B^{3}\right)^{675}=I_{3}^{\,675}=\boxed{I_{3}}$$