Exercice 8

1. Faux. En développant sans changer l'ordre des facteurs, $(A+B)(A-B)=A^{2}-AB+BA-B^{2}$, qui n'est égal à $A^{2}-B^{2}$ que si $AB=BA$. Avec les matrices de l'exercice 7, $A=\begin{pmatrix} 0&1\\0&0 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1&0\\0&0 \end{pmatrix}$ : $$(A+B)(A-B)=\begin{pmatrix} -1&1\\0&0 \end{pmatrix} \qquad\text{alors que}\qquad A^{2}-B^{2}=\begin{pmatrix} -1&0\\0&0 \end{pmatrix}.$$

2. Faux. La matrice $A=\begin{pmatrix} 0&1\\0&0 \end{pmatrix}$ est non nulle, et pourtant $A^{2}=0$. Une telle matrice est dite nilpotente (exercice 28).

3. Faux. La matrice $A=\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix}$ vérifie $A^{2}=I_{2}$, sans être égale à $I_{2}$ ni à $-I_{2}$. L'équation $A^{2}=I_{2}$ a même une infinité de solutions dans $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$.

4. Faux. On a $(AB)^{2}=ABAB$, qui n'est égal à $A^{2}B^{2}=AABB$ que si l'on peut échanger $B$ et $A$ au milieu. Avec $A=\begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1&0\\1&1 \end{pmatrix}$, on trouve $(AB)^{2}=\begin{pmatrix} 5&3\\3&2 \end{pmatrix}$ et $A^{2}B^{2}=\begin{pmatrix} 5&2\\2&1 \end{pmatrix}$.

5. Vrai. Si $A=\begin{pmatrix} \alpha&0\\0&\beta \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} \gamma&0\\0&\delta \end{pmatrix}$, alors $AB=\begin{pmatrix} \alpha\gamma&0\\0&\beta\delta \end{pmatrix}=BA$, puisque les réels commutent.

6. Vrai. Par récurrence : $(kA)^{0}=I_{2}=k^{0}A^{0}$, et si $(kA)^{n}=k^{n}A^{n}$, alors $(kA)^{n+1}=(kA)^{n}(kA)=k^{n}A^{n}\,kA=k^{n+1}A^{n+1}$ d'après la Proposition 2 (les réels « sortent » des produits).

L'erreur la plus répandue est d'appliquer aux matrices les identités remarquables ou la règle du produit nul : les questions 1, 2 et 4 montrent qu'elles sont fausses en général.