Exercice 7

Il s'agit de trouver un exemple : la réponse n'est donc pas unique.

Posons : $$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

On calcule les deux produits, dans les deux ordres : $$AB=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \times\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\times 1+1\times 0 & 0\times 0+1\times 0 \\ 0\times 1+0\times 0 & 0\times 0+0\times 0 \end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=0}$$

Ces deux matrices conviennent donc.

Deux enseignements importants. D'une part, cet exemple confirme que le produit matriciel n'est pas commutatif. D'autre part, il montre qu'un produit de matrices peut être nul sans qu'aucun des deux facteurs ne le soit : dans $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$, la règle du produit nul est fausse. C'est d'ailleurs pour cela qu'on ne peut pas « simplifier » une égalité matricielle par une matrice non nulle — il faudrait pour cela qu'elle soit inversible, comme le montrera l'exercice 15.