Exercice 6

Cherchons les matrices $B=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ de $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ telles que $AB=BA$. On calcule les deux produits : $$AB=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a+c & b+d \\ c & d \end{pmatrix} \qquad BA=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a & a+b \\ c & c+d \end{pmatrix}$$

L'égalité $AB=BA$ équivaut donc au système : $$\begin{cases} a+c=a \\ b+d=a+b \\ c=c \\ d=c+d \end{cases} \iff \begin{cases} c=0 \\ d=a \end{cases}$$ La troisième équation est toujours vraie, et la quatrième redonne $c=0$.

Les matrices cherchées sont donc exactement celles de la forme : $$\boxed{B=\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \qquad\text{avec } (a\,;b)\in\mathbb{R}^{2}}$$

Autre écriture : en posant $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$, on a $B=a\mathrm{Id}+bN$, et l'on remarque que $A=\mathrm{Id}+N$ appartient elle-même à cet ensemble — ce qui était prévisible, puisque toute matrice commute avec elle-même et avec l'identité.