Exercice 5

1. On commence par $A+B=\begin{pmatrix}3&-1\\-2&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&1\\3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\\1&2\end{pmatrix}$, d'où : $$(A+B)^{2}=\begin{pmatrix}3&0\\1&2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3&0\\1&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}9+0&0+0\\3+2&0+4\end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix}9&0\\5&4\end{pmatrix}}$$

Calculons ensuite les quatre produits utiles : $$A^{2}=\begin{pmatrix}9+2&-3+0\\-6+0&2+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11&-3\\-6&2\end{pmatrix} \qquad B^{2}=\begin{pmatrix}0+3&0+2\\0+6&3+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\6&7\end{pmatrix}$$

On constate déjà que $\boxed{AB\neq BA}$. On en déduit : $$A^{2}+2AB+B^{2}=\begin{pmatrix}11&-3\\-6&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-6&2\\0&-4\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}3&2\\6&7\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}8&1\\0&5\end{pmatrix}}$$

2. On observe que $(A+B)^{2}\neq A^{2}+2AB+B^{2}$, mais que $(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}$.

En effet, en développant sans jamais échanger l'ordre des facteurs : $$(A+B)^{2}=(A+B)(A+B)=A^{2}+AB+BA+B^{2}$$ Le regroupement $AB+BA=2AB$ n'est légitime que si $AB=BA$, ce qui est faux ici. $$\boxed{\text{L'identité remarquable } (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2} \text{ n'est pas valable dans } \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}).}$$ On retiendra que la multiplication matricielle n'est pas commutative : toutes les identités algébriques usuelles reposant sur la commutativité tombent en défaut.