Exercice 4

1. On isole $X$ comme dans une équation réelle, les opérations utilisées (somme, multiplication par un réel) ayant les propriétés de la Proposition 1 : $$3X-A=2B \iff X=\frac{1}{3}(A+2B)=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1+2&2-2\\-1+4&3+0 \end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 3&0\\3&3 \end{pmatrix}$$ d'où $\boxed{X=\begin{pmatrix} 1&0\\1&1 \end{pmatrix}}$.

2. Deux matrices sont égales si et seulement si leurs coefficients sont égaux un à un : $$\begin{cases} x=2\\ 2y=z\\ x+y=z-1 \end{cases} \iff \begin{cases} x=2\\ z=2y\\ 2+y=2y-1 \end{cases} \iff \boxed{x=2,\; y=3,\; z=6}$$

3. On calcule $\begin{pmatrix} a&1\\1&a \end{pmatrix}^{2}=\begin{pmatrix} a^{2}+1&2a\\2a&a^{2}+1 \end{pmatrix}$. L'égalité impose $2a=4$ et $a^{2}+1=5$ ; la première donne $a=2$, qui vérifie bien la seconde. Ainsi $\boxed{a=2}$. La valeur $a=-2$ vérifie $a^{2}+1=5$ mais pas $2a=4$ : comme dans l'exercice 2, toutes les équations doivent être satisfaites.