Exercice 3

1. $A$ est de dimension $2\times 3$, $B$ de dimension $3\times 2$ et $C$ de dimension $2\times 2$.

2. Une somme n'a de sens qu'entre matrices de même dimension, et un produit $MN$ n'a de sens que si le nombre de colonnes de $M$ est égal au nombre de lignes de $N$ ; le résultat a alors le nombre de lignes de $M$ et le nombre de colonnes de $N$.

• $A+B$ n'a pas de sens ($2\times 3$ et $3\times 2$).

• $AB$ a un sens : $(2\times 3)\times(3\times 2)$ donne une matrice $2\times 2$.

• $BA$ a un sens : $(3\times 2)\times(2\times 3)$ donne une matrice $3\times 3$.

• $AC$ n'a pas de sens : $A$ a $3$ colonnes et $C$ a $2$ lignes.

• $CA$ a un sens : $(2\times 2)\times(2\times 3)$ donne une matrice $2\times 3$.

• $BC$ a un sens : $(3\times 2)\times(2\times 2)$ donne une matrice $3\times 2$.

• $CB$ n'a pas de sens : $C$ a $2$ colonnes et $B$ a $3$ lignes.

• $AB+C$ a un sens, puisque $AB$ et $C$ sont toutes deux de dimension $2\times 2$.

3. On obtient : $$AB=\boxed{\begin{pmatrix} 2&3\\10&14 \end{pmatrix}}, \qquad BA=\boxed{\begin{pmatrix} 5&-3&4\\-3&-1&-4\\10&1&12 \end{pmatrix}},$$

$$CA=\boxed{\begin{pmatrix} 7&0&8\\-1&2&0 \end{pmatrix}}, \qquad AB+C=\boxed{\begin{pmatrix} 3&5\\9&14 \end{pmatrix}}.$$ Détail du premier coefficient de $AB$ : $1\times 2+(-2)\times 0+0\times 1=2$.

Les produits $AB$ et $BA$ n'ont même pas la même dimension : l'ordre des facteurs compte, comme le soulignera l'exercice 5.