Exercice 2

On commence par calculer $A^{2}$ en fonction de $x$ : $$A^{2}=\begin{pmatrix} x & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \times\begin{pmatrix} x & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x\times x+1\times 2 & x\times 1+1\times 3 \\ 2\times x+3\times 2 & 2\times 1+3\times 3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x^{2}+2 & x+3 \\ 2x+6 & 11 \end{pmatrix}$$

Deux matrices sont égales si et seulement si tous leurs coefficients sont égaux. L'égalité $A^{2}=\begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 2 & 11 \end{pmatrix}$ équivaut donc au système : $$\begin{cases} x^{2}+2=6 \\ x+3=1 \\ 2x+6=2 \\ 11=11 \end{cases} \iff \begin{cases} x^{2}=4 \\ x=-2 \\ x=-2 \end{cases}$$

La première équation admet deux solutions, $x=2$ et $x=-2$, mais les deux suivantes imposent $x=-2$. Seule cette valeur convient aux quatre conditions simultanément : $$\boxed{x=-2}$$

Vérification : avec $x=-2$, on obtient $A^{2}=\begin{pmatrix} 4+2 & -2+3 \\ -4+6 & 11 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 2 & 11 \end{pmatrix}$, ce qui est bien la matrice attendue.

Piège classique : il ne suffit pas de résoudre la première équation. Une égalité de matrices est un système de quatre équations, et une valeur ne convient que si elle les vérifie toutes.