Exercice 26 Une suite récurrente d'ordre 2

1. On veut $\begin{pmatrix} u_{n+2}\\u_{n+1} \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} u_{n+1}\\u_{n} \end{pmatrix}$, c'est-à-dire $u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_{n}$ et $u_{n+1}=1\times u_{n+1}+0\times u_{n}$. D'où $\boxed{A=\begin{pmatrix} 5&-6\\1&0 \end{pmatrix}}$.

2. $U_{0}=A^{0}U_{0}$, et si $U_{k}=A^{k}U_{0}$, alors $U_{k+1}=AU_{k}=A\,A^{k}U_{0}=A^{k+1}U_{0}$.

3. $\det(P)=3-2=1\neq 0$, donc $P$ est inversible et $P^{-1}=\begin{pmatrix} 1&-2\\-1&3 \end{pmatrix}$. Puis : $$AP=\begin{pmatrix} 9&4\\3&2 \end{pmatrix}, \qquad D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1&-2\\-1&3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 9&4\\3&2 \end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix} 3&0\\0&2 \end{pmatrix}}$$

4. Comme dans l'exercice 20, $A^{n}=PD^{n}P^{-1}$ : $$A^{n}=\begin{pmatrix} 3^{n+1}&2^{n+1}\\3^{n}&2^{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&-2\\-1&3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3^{n+1}-2^{n+1}&-2\times 3^{n+1}+3\times 2^{n+1}\\3^{n}-2^{n}&-2\times 3^{n}+3\times 2^{n} \end{pmatrix}.$$ Le terme $u_{n}$ est la deuxième coordonnée de $U_{n}=A^{n}\begin{pmatrix} 5\\2 \end{pmatrix}$ : $$u_{n}=5\left(3^{n}-2^{n}\right)+2\left(-2\times 3^{n}+3\times 2^{n}\right)=3^{n}+2^{n}, \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{u_{n}=2^{n}+3^{n}}.$$

Les nombres $2$ et $3$ sont les racines de $x^{2}=5x-6$ : c'est la méthode générale du poly (exercice 11), qui est ici expliquée par la diagonalisation.