Exercice 27 Formule du binôme pour les matrices

1. $A^{0}B=B=BA^{0}$, et si $A^{k}B=BA^{k}$, alors $A^{k+1}B=A(A^{k}B)=A(BA^{k})=(AB)A^{k}=(BA)A^{k}=BA^{k+1}$.

2. On reprend la récurrence du chapitre 2 avec $u=A$ et $v=B$. Dans l'hérédité : $$(A+B)^{N+1}=(A+B)\sum_{k=0}^{N}\binom{N}{k}A^{k}B^{N-k}=\sum_{k=0}^{N}\binom{N}{k}A^{k+1}B^{N-k}+\sum_{k=0}^{N}\binom{N}{k}\,B\,A^{k}B^{N-k}.$$ C'est ici qu'intervient l'hypothèse : pour obtenir le terme $A^{k}B^{N+1-k}$, il faut écrire $BA^{k}=A^{k}B$, ce que permet la question 1. La suite de la démonstration (changement d'indice et formule de Pascal) est inchangée. Dans l'exercice 5, $AB\neq BA$, et c'est précisément pour cela que $(A+B)^{2}\neq A^{2}+2AB+B^{2}$.

3. On a $N=\begin{pmatrix} 0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}$, $N^{2}=\begin{pmatrix} 0&0&1\\0&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix}$ et $N^{3}=0$, donc $N^{k}=0$ pour $k\geqslant 3$. Comme $3I_{3}$ commute avec $N$, la formule du binôme donne, pour $n\geqslant 2$ : $$A^{n}=(N+3I_{3})^{n}=\sum_{k=0}^{2}\binom{n}{k}N^{k}3^{n-k}=3^{n}I_{3}+n3^{n-1}N+\frac{n(n-1)}{2}3^{n-2}N^{2},$$

$$\text{soit}\qquad \boxed{A^{n}=\begin{pmatrix} 3^{n}&n3^{n-1}&\frac{n(n-1)}{2}3^{n-2}\\[1mm] 0&3^{n}&n3^{n-1}\\ 0&0&3^{n} \end{pmatrix}}$$ Vérification : pour $n=4$, on obtient $\begin{pmatrix} 81&108&54\\0&81&108\\0&0&81 \end{pmatrix}$, qui est bien $A^{4}$.

La formule de l'exercice 12 s'obtient de la même manière, avec $I_{3}$ à la place de $3I_{3}$.