Exercice 28 Matrices nilpotentes

1. En développant, les termes se télescopent : $$(I_{p}-A)\sum_{k=0}^{n-1}A^{k}=\sum_{k=0}^{n-1}A^{k}-\sum_{k=0}^{n-1}A^{k+1}=\sum_{k=0}^{n-1}A^{k}-\sum_{k=1}^{n}A^{k}=I_{p}-A^{n},$$ et le calcul est identique dans l'autre ordre, puisque $A$ commute avec ses puissances. C'est la Proposition 7 du chapitre 2, avec $a=1$ et $z=A$.

2. Avec $n=q$ et $A=N$, on obtient $(I_{p}-N)\left(I_{p}+N+\cdots+N^{q-1}\right)=I_{p}-N^{q}=I_{p}$, et de même dans l'autre ordre. Donc $\boxed{I_{p}-N \text{ est inversible, d'inverse } I_{p}+N+\cdots+N^{q-1}}$. Dans l'exercice 19, $A=I_{3}+N=I_{3}-(-N)$ avec $(-N)^{3}=0$, d'où $A^{-1}=I_{3}-N+N^{2}=\begin{pmatrix} 1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1 \end{pmatrix}$ : on retrouve le résultat.

3. Supposons $N$ inversible et $N^{q}=0$ avec $q$ minimal. Si $q=1$, alors $N=0$, qui n'est pas inversible. Si $q\geqslant 2$, en multipliant $N^{q}=0$ par $N^{-1}$, on obtient $N^{q-1}=0$, ce qui contredit la minimalité de $q$. Donc $\boxed{N \text{ n'est pas inversible}}$.

4. D'après l'exercice 21, $\det(N)^{q}=\det(N^{q})=\det(0)=0$, donc $\det(N)=0$. D'après l'exercice 22, $N^{2}=tN$, où $t$ est la trace de $N$. Par une récurrence immédiate, $N^{k}=t^{k-1}N$ pour tout $k\geqslant 1$, donc $0=N^{q}=t^{q-1}N$. Si $N=0$, alors $N^{2}=0$ ; sinon $t^{q-1}=0$, donc $t=0$ et $N^{2}=tN=0$. Dans tous les cas, $\boxed{N^{2}=0}$.

En dimension $2$, une matrice nilpotente vérifie donc toujours $N^{2}=0$ ; en dimension $3$, l'exercice 19 fournit une matrice nilpotente avec $N^{2}\neq 0$ et $N^{3}=0$.