Exercice 27

Si $z^{5}=\overline{z}$, alors $|z|^{5}=|\overline{z}|=|z|$, donc $|z|\left(|z|^{4}-1\right)=0$ : $|z|=0$ ou $|z|=1$, puisque $|z|$ est un réel positif.

Le nombre $0$ est solution. Si $|z|=1$, alors $z\overline{z}=1$, donc $\overline{z}=\dfrac{1}{z}$ et l'équation équivaut à $z^{6}=1$. D'après l'exercice 22, $z$ est l'une des six racines sixièmes de l'unité $e^{i\frac{k\pi}{3}}$, $k\in\llbracket 0;5\rrbracket$, qui sont bien de module $1$. Réciproquement, ces six nombres vérifient $z^{5}=\dfrac{z^{6}}{z}=\dfrac{1}{z}=\overline{z}$. $$\boxed{\mathcal{S}=\left\{0\right\}\cup\left\{e^{i\frac{k\pi}{3}}\;;\;k\in\llbracket 0;5\rrbracket\right\}}$$ L'équation admet donc $7$ solutions : $0$ et les sommets de l'hexagone régulier de l'exercice 22.