Feuille d'exercicesMaths expertes, chapitre 5

Géométrie complexe

37 exercices corrigés · 14   12   9   2

Affixe, module et argument

• Exercice 1 On considère le nombre complexe z=2+i. Dans un repère orthonormé (O;I,J), placer: a) Le point A d'affixe z. b) Le point B d'affixe -z. c) Le point C…
• Exercice 2 1. Sans calcul, en plaçant les points correspondants, donner le module et un argument de chacun des nombres complexes suivants: 3, -2, 5i, -i, 1+i,…
• Exercice 3 Dans un repère orthonormé (O;overrightarrow u,overrightarrow v), représenter l'ensemble des points M d'affixe z tels que: a) |z|=2; b) |z|≤ 3; c) z≠…
• Exercice 4 · Distance entre deux points Soient A et B deux points d'affixes respectives z_A=x_A+iy_A et z_B=x_B+iy_B, avec x_A, y_A, x_B, y_B réels. 1. À l'aide de la formule de la…

Forme trigonométrique

• Exercice 5 Donner la forme trigonométrique des nombres suivants: 1. z_1=2+2i√3 2. z_2=-√2+i√2 3. z_3=4-4i 4. z_4=- 1/4 + (i√3)/4 5. z_5=-2i 6. z_6= 4/(1-i)
• Exercice 6 Déterminer la forme algébrique des nombres suivants: 1. z_1=2 (cos (π/2)+isin (π/2)) 2. z_2=3 (cos (2π/3)+isin (2π/3)) 3. z_3=4 (cos (- π/3)+isin (-…
• Exercice 7 On pose z_1=1+i et z_2=1-i√3. 1. Déterminer le module et un argument de z_1 et de z_2. 2. En utilisant la Proposition 4 du cours, en déduire le…

Formules de trigonométrie

• Exercice 8 1. Déterminer la valeur de π/3 + π/4. 2. En déduire la valeur de cos (7π/12) et sin (7π/12). 3. Trouver par une méthode analogue la valeur de cos…
• Exercice 9 Soit x un réel quelconque. 1. Calculer les expressions suivantes: (a) A=cos (x)+cos (x+ 2π/3)+cos (x+ 4π/3) (b) B=sin (x)+sin (x+ 2π/3)+sin (x+…
• Exercice 10 On note a le réel de l'intervalle [0; π/2 ] tel que cos (a)= (√(2+√3))/2. Calculer cos (2a), et en déduire la valeur de a.
• Exercice 11 Soit x un réel quelconque tel que x not equiv 0 [ π/2 ]. 1. Simplifier l'expression: (1-cos (2x))/(sin (2x)) 2. En déduire la valeur de tan (π/8) et…
• Exercice 12 1. À l'aide des formules de duplication, calculer cos (π/8) et sin (π/8). 2. Résoudre dans [0;2π[ l'équation cos (2x)=cos (x). On pourra poser X=cos…

Opérations et forme exponentielle

• Exercice 13 Trouver la forme trigonométrique des complexes suivants, en utilisant les opérations sur modules et arguments: 1. z_1=(1-i)^6 2. z_2= (1-i√3)/(1+i)…
• Exercice 14 On considère les deux nombres complexes suivants: z_1= (√6-i√2)/2 et z_2=1-i. 1. Donner le module et un argument de z_1, z_2 et (z_1)/(z_2). 2.…
• Exercice 15 Dans un repère orthonormé, placer les points: a) A d'affixe e^i π/4 b) B d'affixe 1/2 e^iπ c) C d'affixe 2e^i 2π/3 d) D d'affixe 5e^i2π
• Exercice 16 Donner une forme exponentielle de chacun des complexes suivants: 1. z_1=2√3+6i 2. z_2=(1+i√3)^4 3. z_3=2 (cos (π/5)+isin (π/5))
• Exercice 17 Dans chacun des cas suivants, écrire z sous la forme exponentielle et en déduire la forme algébrique de overline z et 1/z: 1. z_1= 6/(1+i) 2.…
• Exercice 18 1. Écrire sous forme algébrique e^i π/6, e^i 5π/6, e^-i π/2 et e^i 3π/4. 2. Simplifier les expressions suivantes: e^i π/3 × e^i π/6, (e^i π/4)^8,…

Formules de Moivre et d'Euler

• Exercice 19 1. Déterminer les formes exponentielles des complexes 1+i et 1-i. 2. En déduire pour tout n∈ℕ la forme trigonométrique de S_n=(1+i)^n+(1-i)^n. 3.…
• Exercice 20 1. Exprimer cos (3x) en fonction de cos (x) et sin (3x) en fonction de sin (x) à l’aide de la formule de Moivre et du développement de (a + b)^3. 2.…
• Exercice 21 En utilisant les formules d'Euler, montrer que pour tout réel x, cos ^2(x)sin ^2(x)= (1-cos (4x))/8

Exercices d'approfondissement

• Exercice 22 · Racines $n$-ièmes de l'unité Soit n≥ 2 un entier. On appelle racine n -ième de l'unité tout nombre complexe z tel que z^n=1. 1. Soit z une racine n -ième de l'unité. Montrer que…
• Exercice 23 · Multiplication par $e^{i\theta}$ Soit θ un réel. À tout point M d'affixe z≠ 0, on associe le point M' d'affixe z'=e^iθz. 1. Montrer que OM'=OM et que arg (z')equiv arg (z)+θ [2π].…
• Exercice 24 · Une somme trigonométrique 1. Soit α un réel. En factorisant par e^i α/2, montrer que e^iα-1=2isin (α/2)e^i α/2. 2. Soient x∈ ]0;2π[ et n∈ℕ. On pose S= Σ_(k=0)^ne^ikx. Montrer…

Pour aller plus loin

• Exercice 25 1. a) Déterminer l'ensemble des nombres complexes z tels que: (1) |z-i|=|z+i| par deux méthodes: • par un calcul en écrivant z sous forme…
• Exercice 26 1. Mettre 1+i√3 sous forme trigonométrique et trouver les entiers naturels n tels que (1+i√3)^n∈ℝ^(+). 2. a) En utilisant la forme trigonométrique,…
• Exercice 27 On veut résoudre l'équation d'inconnue z∈ℂ: (1) z^5=overline z. Montrer que, si z vérifie (1), alors z est nul ou de module 1. Conclure; on montrera…
• Exercice 28 1. Trouver deux fonctions polynomiales P et Q telles que ∀ x∈ℝ, cos (4x)=P (cos (x)), sin (4x)=sin (x) Q (cos (x)). 2. Linéarisation. a) Écrire…
• Exercice 29 Soient α et β deux réels, Z=e^iα+e^iβ. a) En factorisant e^iα dans Z, trouver le module de Z et, si Z est non nul, un argument de Z. b) Retrouver…
• Exercice 30 Quels sont les n∈ℕ^() tels que ∀θ∈ℝ, (sin (θ)+icos (θ))^n=sin (nθ)+icos (nθ) ?
• Exercice 31 Montrer, pour x réel et n entier ≥ 2: Σ_(k=0)^(n-1)cos (x+ 2kπ/n)=0. On pourra utiliser l'exercice 22.
• Exercice 32 a) Déterminer une fonction polynomiale P telle que ∀ x∈ℝ, cos (5x)=P (cos (x)). b) En déduire la valeur de cos (π/10).
• Exercice 33 · Calcul de $\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)$ Soient z=e^ 2iπ/5 et x=2cos (2π/5). a) Montrer que 1+z+z^2+z^3+z^4=0. b) Vérifier l'égalité x=z+ 1/z. c) Exprimer x^2 en fonction de z. En utilisant…
• Exercice 34 Soient n dans ℕ^(), x∈ℝ. En appliquant la formule du binôme à (1+e^ix)^n et en utilisant la technique de l'arc moitié (exercice 29), établir les…
• Exercice 35 Soit n un entier ≥ 2. Déterminer les complexes z tels que: (z-i)^n=(z+i)^n. On pourra noter qu'une solution z de cette équation est nécessairement…
• Exercice 36 On note 𝕌 l'ensemble des nombres complexes de module 1. Il est conseillé, dans cet exercice, d'éviter les parties réelles et imaginaires et de…
• Exercice 37 Trouver les nombres complexes z tels que (z-1)^3=i(z+1)^3.