Exercice 11

Soit $x$ un réel tel que $x\not\equiv 0\ \left[\dfrac{\pi}{2}\right]$, ce qui garantit $\sin(2x)\neq 0$ et $\cos(x)\neq 0$.

1. On utilise les deux formules de duplication : $$\cos(2x)=1-2\sin^2(x) \qquad\text{et}\qquad \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$$ Ce qui nous donne : $$\begin{aligned} \frac{1-\cos(2x)}{\sin(2x)} &= \frac{1-\left(1-2\sin^2(x)\right)}{2\sin(x)\cos(x)}\\ &= \frac{2\sin^2(x)}{2\sin(x)\cos(x)}\\ &= \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \end{aligned}$$

2. Il suffit d'appliquer la formule précédente à des valeurs bien choisies de $x$.

Pour $x=\dfrac{\pi}{8}$, on a $2x=\dfrac{\pi}{4}$, ainsi : $$\tan\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)} =\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}$$

Pour $x=\dfrac{\pi}{12}$, on a $2x=\dfrac{\pi}{6}$, ainsi : $$\tan\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)} =\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=2\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$