Exercice 10

On utilise la formule de duplication $\cos(2a)=2\cos^2(a)-1$, ce qui donne : $$\begin{aligned} \cos(2a) &= 2\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\right)^2-1\\ &= 2\times\frac{2+\sqrt{3}}{4}-1\\ &= \frac{2+\sqrt{3}}{2}-1=\frac{2+\sqrt{3}-2}{2} \end{aligned}$$

$$\boxed{\cos(2a)=\frac{\sqrt{3}}{2}}$$ Or $a$ appartient à l'intervalle $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, donc $2a$ appartient à l'intervalle $[0\,;\pi]$, sur lequel la fonction cosinus est strictement décroissante : il existe donc une unique valeur de $2a$ telle que $\cos(2a)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, et on sait que $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. On en déduit donc que $2a=\dfrac{\pi}{6}$, autrement dit : $$\boxed{a=\frac{\pi}{12}}$$