Exercice 9

Soit $x$ un réel quelconque.

1. On utilise les formules d'addition, en rappelant que : $$\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2} \;;\; \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \qquad ; \qquad \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2} \;;\; \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

(a) On développe chacun des deux derniers termes : $$\begin{aligned} \cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right) &= -\frac{1}{2}\cos(x)-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)\\ \cos\left(x+\frac{4\pi}{3}\right) &= -\frac{1}{2}\cos(x)+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x) \end{aligned}$$ Ce qui nous donne en sommant : $$\begin{aligned} A &= \cos(x)-\frac{1}{2}\cos(x)-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)-\frac{1}{2}\cos(x)+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)\\ &= \left(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)\cos(x)+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\sin(x) \end{aligned}$$

(b) On procède exactement de la même manière : $$\begin{aligned} \sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right) &= -\frac{1}{2}\sin(x)+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x)\\ \sin\left(x+\frac{4\pi}{3}\right) &= -\frac{1}{2}\sin(x)-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x) \end{aligned}$$ Ce qui nous donne en sommant : $$B=\left(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)\sin(x)+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cos(x)$$

2. On reconnaît dans chaque cas l'un des membres d'une formule d'addition, qu'il faut lire « à l'envers » :

(a) On reconnaît la formule $\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)=\cos(a-b)$ avec $a=3x$ et $b=5x$ : $$C=\cos(3x-5x)=\cos(-2x)$$ Or la fonction cosinus est paire, d'où : $$\boxed{C=\cos(2x)}$$

(b) On reconnaît la formule $\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)=\cos(a+b)$ avec $a=x$ et $b=2x$ : $$\boxed{D=\cos(3x)}$$

(c) On reconnaît la formule $\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)=\sin(a-b)$ avec $a=6x$ et $b=7x$ : $$E=\sin(6x-7x)=\sin(-x)$$ Or la fonction sinus est impaire, d'où : $$\boxed{E=-\sin(x)}$$

(d) On reconnaît la formule $\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)=\sin(a+b)$ avec $a=2x$ et $b=3x$ : $$\boxed{F=\sin(5x)}$$