Exercice 8

1. On réduit au même dénominateur : $$\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{4\pi}{12}+\frac{3\pi}{12} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12}}$$

2. On utilise les formules d'addition : $$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b) \qquad\text{et}\qquad \sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$$ En posant $a=\dfrac{\pi}{3}$ et $b=\dfrac{\pi}{4}$, on obtient tout d'abord : $$\begin{aligned} \cos\left(\frac{7\pi}{12}\right) &= \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\\ &= \frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4} \end{aligned}$$ Puis de la même manière : $$\begin{aligned} \sin\left(\frac{7\pi}{12}\right) &= \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) +\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\\ &= \frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}\\ &= \frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4} \end{aligned}$$ On en déduit donc que : $$\boxed{\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} \qquad\text{et}\qquad \sin\left(\frac{7\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$$

3. On procède de façon analogue en remarquant cette fois que : $$\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}=\frac{4\pi}{12}-\frac{3\pi}{12}=\frac{\pi}{12}$$ On utilise alors les formules de soustraction : $$\begin{aligned} \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) &= \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) +\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}\\ \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) &= \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4} \end{aligned}$$ On en déduit donc que : $$\boxed{\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \qquad\text{et}\qquad \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$$