Exercice 7

1. $|z_{1}|=\sqrt{2}$ et $z_{1}=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$, d'où $\arg(z_{1})\equiv\dfrac{\pi}{4}$. De même, $|z_{2}|=\sqrt{1+3}=2$ et $z_{2}=2\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$, d'où $\arg(z_{2})\equiv-\dfrac{\pi}{3}\;[2\pi]$.

2. D'après la Proposition 4 : $$\begin{aligned} |z_{1}z_{2}| &= 2\sqrt{2}, & \arg(z_{1}z_{2}) &\equiv\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{12} ; \\ \left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right| &= \frac{\sqrt{2}}{2}, & \arg\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right) &\equiv\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{12} ; \\ |z_{1}^{4}| &= 4, & \arg(z_{1}^{4}) &\equiv\pi ; \\ |z_{2}^{3}| &= 8, & \arg(z_{2}^{3}) &\equiv-\pi\equiv\pi ; \\ |z_{1}^{2}z_{2}| &= 2\times 2=4, & \arg(z_{1}^{2}z_{2}) &\equiv\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6} \quad [2\pi]. \end{aligned}$$

3. On en déduit $z_{1}^{4}=4(\cos\pi+i\sin\pi)=\boxed{-4}$ et $z_{2}^{3}=8(\cos\pi+i\sin\pi)=\boxed{-8}$. Vérification : $z_{1}^{2}=2i$ donc $z_{1}^{4}=(2i)^{2}=-4$ ; $z_{2}^{2}=1-2i\sqrt{3}-3=-2-2i\sqrt{3}$, puis $z_{2}^{3}=(-2-2i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})=-2+2i\sqrt{3}-2i\sqrt{3}-6=-8$.

La forme trigonométrique rend les puissances immédiates, alors que la forme algébrique demande un développement : c'est tout l'intérêt de la Proposition 4.