Exercice 6

Il suffit ici de remplacer les cosinus et sinus par leurs valeurs exactes, puis de développer.

1. On constate que $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$, ainsi : $$z_1=2(0+i\times 1) \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{z_1=2i}$$

2. On constate que $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, ainsi : $$z_2=3\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{z_2=-\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i}$$

3. On constate que $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$ et $\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, ainsi : $$z_3=4\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{z_3=2-2i\sqrt{3}}$$

4. On constate que $\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}$, ainsi : $$z_4=\frac{1}{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right) \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{z_4=-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{4}i}$$