Exercice 5

Pour chaque nombre, on calcule d'abord le module $r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$, puis on factorise par ce module afin de faire apparaître un argument $\theta$ vérifiant : $$\cos(\theta)=\frac{x}{r} \qquad\text{et}\qquad \sin(\theta)=\frac{y}{r}$$

1. On constate que : $$|z_1|=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$$ Ainsi : $$z_1=4\left(\frac{2}{4}+i\frac{2\sqrt{3}}{4}\right)=4\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$ On reconnaît le cosinus et le sinus de $\dfrac{\pi}{3}$, d'où : $$\boxed{z_1=4\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)}$$

2. On procède de la même manière : $$|z_2|=\sqrt{2+2}=2 \qquad\text{et}\qquad z_2=2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ On reconnaît le cosinus et le sinus de $\dfrac{3\pi}{4}$, d'où : $$\boxed{z_2=2\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)}$$

3. On constate que : $$|z_3|=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2} \qquad\text{et}\qquad z_3=4\sqrt{2}\left(\frac{4}{4\sqrt{2}}-i\frac{4}{4\sqrt{2}}\right)=4\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ On reconnaît le cosinus et le sinus de $-\dfrac{\pi}{4}$, d'où : $$\boxed{z_3=4\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)}$$

4. On constate que : $$|z_4|=\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{3}{16}}=\sqrt{\frac{4}{16}}=\frac{1}{2} \qquad\text{et}\qquad z_4=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$ On reconnaît le cosinus et le sinus de $\dfrac{2\pi}{3}$, d'où : $$\boxed{z_4=\frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)}$$

5. Le nombre $z_5=-2i$ est un imaginaire pur de module $2$, et $z_5=2(0-i)$, on reconnaît donc le cosinus et le sinus de $-\dfrac{\pi}{2}$ : $$\boxed{z_5=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)}$$

6. On commence par écrire $z_6$ sous forme algébrique en multipliant par le conjugué : $$z_6=\frac{4}{1-i}=\frac{4(1+i)}{1^2+1^2}=\frac{4+4i}{2}=2+2i$$ On a alors $|z_6|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$ et : $$z_6=2\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ On reconnaît le cosinus et le sinus de $\dfrac{\pi}{4}$, d'où : $$\boxed{z_6=2\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)}$$