ExerciceMaths expertes, chapitre 5 — Géométrie complexe · Affixe, module et argument

Exercice 4 Distance entre deux points

DémonstrationCalcul

Soient $A$ et $B$ deux points d'affixes respectives $z_{A}=x_{A}+iy_{A}$ et $z_{B}=x_{B}+iy_{B}$ , avec $x_{A}$ , $y_{A}$ , $x_{B}$ , $y_{B}$ réels.

1. À l'aide de la formule de la distance dans un repère orthonormé, montrer que $AB=|z_{B}-z_{A}|$ .

2. On considère les points $A$ , $B$ et $C$ d'affixes $1+i$ , $3+2i$ et $3i$ . Déterminer la nature du triangle $ABC$ .

3. Déterminer et représenter l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z-2i|=3$ .

Corrigé

1. D'après la formule de la distance vue en Seconde : $AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}.$ Or $z_{B}-z_{A}=(x_{B}-x_{A})+i(y_{B}-y_{A})$ , dont le module est précisément ce nombre. Ainsi $\boxed{AB=|z_{B}-z_{A}|}$ . Le cas $z_{A}=0$ redonne la définition du cours, $OB=|z_{B}|$ .

2. On calcule les trois longueurs : $AB=|2+i|=\sqrt{5}, \qquad AC=|-1+2i|=\sqrt{5}, \qquad BC=|-3+i|=\sqrt{10}.$ On a $AB=AC$ et $AB^{2}+AC^{2}=10=BC^{2}$ : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, $\boxed{ABC \text{ est rectangle isocèle en } A}$ .

3. Le point $\Omega$ d'affixe $2i$ vérifie $\Omega M=|z-2i|$ . L'ensemble cherché est donc : $\boxed{\text{le cercle de centre } \Omega(0\,;2) \text{ et de rayon } 3}$

La figure confirme que l'angle en $A$ est droit et que $A$ est équidistant de $B$ et $C$  ; le cercle de la question 3 coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;5)$ et $(0\,;-1)$ , à $3$ unités de $\Omega$ .

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Dans l'édifice

Conjugaison et module

Thèmes

affixe et représentation, module, distances et ensembles de points, nature de figures

Notions

nombre complexe, module (d'un complexe)