Exercice 12

1. D'après la formule $\cos(2a)=2\cos^{2}(a)-1$ avec $a=\dfrac{\pi}{8}$ : $$\cos^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{1+\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}, \qquad \sin^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)=1-\cos^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{2-\sqrt{2}}{4}.$$ Comme $\dfrac{\pi}{8}\in\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$, le cosinus et le sinus sont positifs : $$\boxed{\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \qquad\text{et}\qquad \sin\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}$$

2. L'équation s'écrit $2\cos^{2}(x)-1=\cos(x)$, soit $2X^{2}-X-1=0$ avec $X=\cos(x)$. Le discriminant vaut $9$, d'où $X=1$ ou $X=-\dfrac{1}{2}$. Dans $[0;2\pi[$, $\cos(x)=1$ donne $x=0$, et $\cos(x)=-\dfrac{1}{2}$ donne $x=\dfrac{2\pi}{3}$ ou $x=\dfrac{4\pi}{3}$ : $$\boxed{\mathcal{S}=\left\{0\;;\frac{2\pi}{3}\;;\frac{4\pi}{3}\right\}}$$

3. L'équation s'écrit $2\sin(x)\cos(x)=\sin(x)$, soit $\sin(x)\big(2\cos(x)-1\big)=0$. Dans $[0;2\pi[$, $\sin(x)=0$ donne $x=0$ ou $x=\pi$, et $\cos(x)=\dfrac{1}{2}$ donne $x=\dfrac{\pi}{3}$ ou $x=\dfrac{5\pi}{3}$ : $$\boxed{\mathcal{S}=\left\{0\;;\frac{\pi}{3}\;;\pi\;;\frac{5\pi}{3}\right\}}$$

L'erreur la plus répandue, en question 3, est de « simplifier » par $\sin(x)$, ce qui fait perdre les solutions $0$ et $\pi$ : on factorise au lieu de diviser.