Exercice 13

On utilise ici les propriétés des modules et des arguments : pour tous complexes non nuls $z$ et $z'$ et tout $n\in\mathbb{N}$, $$|zz'|=|z|\,|z'| \;,\; \left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|} \;,\; |z^n|=|z|^n$$

1. On commence par écrire $1-i$ sous forme trigonométrique : son module vaut $\sqrt{2}$ et $1-i=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, ce qui donne un argument de $-\dfrac{\pi}{4}$. On en déduit alors : $$|z_1|=\left(\sqrt{2}\right)^6=8 \qquad\text{et}\qquad \arg(z_1)=6\times\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{3\pi}{2}\equiv\frac{\pi}{2}\ [2\pi]$$

2. On écrit séparément le numérateur et le dénominateur : $$1-i\sqrt{3}=2\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \quad\text{de module }2\text{ et d'argument }-\frac{\pi}{3}$$

$$1+i=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \quad\text{de module }\sqrt{2}\text{ et d'argument }\frac{\pi}{4}$$ On en déduit alors : $$|z_2|=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \qquad\text{et}\qquad \arg(z_2)=-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}=-\frac{4\pi}{12}-\frac{3\pi}{12}=-\frac{7\pi}{12}$$

3. On écrit de même chacune des deux bases : $$\sqrt{3}+i=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}\right) \quad\text{de module }2\text{ et d'argument }\frac{\pi}{6}$$

$$1+i \quad\text{de module }\sqrt{2}\text{ et d'argument }\frac{\pi}{4}$$ On en déduit alors : $$|z_3|=\frac{2^9}{\left(\sqrt{2}\right)^{12}}=\frac{512}{64}=8$$