Exercice 14

1. On calcule le module de $z_1$ : $$|z_1|=\frac{1}{2}\sqrt{\left(\sqrt{6}\right)^2+\left(\sqrt{2}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{8}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$ On factorise alors par ce module : $$z_1=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}-i\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\right) =\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right)$$ On reconnaît le cosinus et le sinus de $-\dfrac{\pi}{6}$, d'où : $$\boxed{|z_1|=\sqrt{2} \qquad\text{et}\qquad \arg(z_1)=-\frac{\pi}{6}\ [2\pi]}$$ De même, $z_2=1-i=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$, d'où : $$\boxed{|z_2|=\sqrt{2} \qquad\text{et}\qquad \arg(z_2)=-\frac{\pi}{4}\ [2\pi]}$$ On en déduit enfin, par quotient : $$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1 \qquad\text{et}\qquad \arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=-\frac{2\pi}{12}+\frac{3\pi}{12}=\frac{\pi}{12}$$

2. On multiplie par le conjugué du dénominateur : $$\begin{aligned} \frac{z_1}{z_2} &= \frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2(1-i)}\\ &= \frac{\left(\sqrt{6}-i\sqrt{2}\right)(1+i)}{2\left(1^2+1^2\right)}\\ &= \frac{\sqrt{6}+i\sqrt{6}-i\sqrt{2}-i^2\sqrt{2}}{4}\\ &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}+i\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}{4} \end{aligned}$$

3. D'après la question 1., $\dfrac{z_1}{z_2}$ a pour module $1$ et pour argument $\dfrac{\pi}{12}$. Sa forme trigonométrique s'écrit donc : $$\frac{z_1}{z_2}=\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$$ Deux nombres complexes étant égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire, on identifie avec la forme algébrique obtenue à la question 2. pour conclure : $$\boxed{\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \qquad\text{et}\qquad \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$$