Exercice 15

On rappelle que le point d'affixe $re^{i\theta}$, avec $r>0$, est le point situé sur le cercle de centre $O$ et de rayon $r$, tel que l'angle orienté entre l'axe des abscisses et $[OM)$ mesure $\theta$. On calcule donc au préalable la forme algébrique de chaque affixe : $$\begin{aligned} e^{i\frac{\pi}{4}} &= \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} & &\text{d'où } A\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\,;\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\approx(0{,}71\,;0{,}71)\\ \frac{1}{2}e^{i\pi} &= \frac{1}{2}\left(\cos(\pi)+i\sin(\pi)\right)=-\frac{1}{2} & &\text{d'où } B\left(-\frac{1}{2}\,;0\right)\\ 2e^{i\frac{2\pi}{3}} &= 2\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1+i\sqrt{3} & &\text{d'où } C\left(-1\,;\sqrt{3}\right)\approx(-1\,;1{,}73)\\ 5e^{i2\pi} &= 5\left(\cos(2\pi)+i\sin(2\pi)\right)=5 & &\text{d'où } D(5\,;0) \end{aligned}$$ On obtient ainsi la figure suivante :

On remarque en particulier que $D$ est un point de l'axe des abscisses, puisque $e^{i2\pi}=e^{i0}=1$.