Exercice 16

On rappelle que la forme exponentielle d'un complexe non nul de module $r$ et d'argument $\theta$ s'écrit $z=re^{i\theta}$.

1. On calcule le module de $z_1$ : $$|z_1|=\sqrt{\left(2\sqrt{3}\right)^2+6^2}=\sqrt{12+36}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$$ On factorise alors par ce module : $$z_1=4\sqrt{3}\left(\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}+i\frac{6}{4\sqrt{3}}\right) =4\sqrt{3}\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$ On reconnaît le cosinus et le sinus de $\dfrac{\pi}{3}$, d'où : $$\boxed{z_1=4\sqrt{3}\,e^{i\frac{\pi}{3}}}$$

2. On commence par écrire $1+i\sqrt{3}$ sous forme exponentielle : son module vaut $\sqrt{1+3}=2$ et $1+i\sqrt{3}=2\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$, d'où $1+i\sqrt{3}=2e^{i\frac{\pi}{3}}$. On en déduit alors : $$z_2=\left(2e^{i\frac{\pi}{3}}\right)^4=2^4e^{i\frac{4\pi}{3}}$$

3. Le nombre $z_3$ est déjà écrit sous forme trigonométrique, il suffit donc de traduire : $$\boxed{z_3=2\,e^{i\frac{\pi}{5}}}$$