Exercice 17

On rappelle que si $z=re^{i\theta}$ avec $r>0$, alors : $$\overline{z}=re^{-i\theta} \qquad\text{et}\qquad \frac{1}{z}=\frac{1}{r}e^{-i\theta}$$ Les nombres $\overline{z}$ et $\dfrac{1}{z}$ ont donc le même argument $-\theta$, ce qui est cohérent avec l'égalité $\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^2}$.

1. On écrit tout d'abord $z_1$ sous forme algébrique : $$z_1=\frac{6}{1+i}=\frac{6(1-i)}{1^2+1^2}=\frac{6-6i}{2}=3-3i$$ Son module vaut $|z_1|=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$ et $z_1=3\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$, d'où : $$\boxed{z_1=3\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}}$$ Pour le conjugué, on change le signe de l'argument : $$\overline{z_1}=3\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}} =3\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =\frac{3\times 2}{2}+i\frac{3\times 2}{2}$$

$$\boxed{\overline{z_1}=3+3i}$$ Pour l'inverse, on change le signe de l'argument et on inverse le module : $$\frac{1}{z_1}=\frac{1}{3\sqrt{2}}e^{i\frac{\pi}{4}} =\frac{1}{3\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =\frac{\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}+i\frac{\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}$$

2. On remarque que $3i=3e^{i\frac{\pi}{2}}$, ainsi : $$z_2=3e^{i\frac{\pi}{2}}\times e^{i\frac{\pi}{3}}=3e^{i\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)}$$

$$\boxed{z_2=3\,e^{i\frac{5\pi}{6}}}$$ On en déduit la forme algébrique du conjugué : $$\overline{z_2}=3\,e^{-i\frac{5\pi}{6}} =3\left(\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right) =3\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right)$$

$$\boxed{\overline{z_2}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i}$$ Puis celle de l'inverse : $$\frac{1}{z_2}=\frac{1}{3}e^{-i\frac{5\pi}{6}}=\frac{1}{3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right)$$

3. On remarque que $-1=e^{i\pi}$, ainsi : $$z_3=12\,e^{i\pi}\times e^{i\frac{\pi}{4}}=12\,e^{i\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)}$$

$$\boxed{z_3=12\,e^{i\frac{5\pi}{4}}=12\,e^{-i\frac{3\pi}{4}}}$$ On en déduit la forme algébrique du conjugué : $$\overline{z_3}=12\,e^{-i\frac{5\pi}{4}}=12\,e^{i\frac{3\pi}{4}} =12\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

$$\boxed{\overline{z_3}=-6\sqrt{2}+6\sqrt{2}\,i}$$ Puis celle de l'inverse : $$\frac{1}{z_3}=\frac{1}{12}e^{i\frac{3\pi}{4}}=\frac{1}{12}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$