Exercice 18

1. D'après la formule d'Euler : $$e^{i\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i, \qquad e^{i\frac{5\pi}{6}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i, \qquad e^{-i\frac{\pi}{2}}=-i, \qquad e^{i\frac{3\pi}{4}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i.$$

2. En additionnant ou en soustrayant les arguments (Proposition 4) : $$e^{i\frac{\pi}{3}}e^{i\frac{\pi}{6}}=e^{i\frac{\pi}{2}}=\boxed{i}, \qquad \left(e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^{8}=e^{2i\pi}=\boxed{1}, \qquad \frac{e^{i\frac{5\pi}{6}}}{e^{i\frac{\pi}{3}}}=e^{i\frac{\pi}{2}}=\boxed{i},$$ et, d'après la formule d'Euler pour le cosinus, $e^{i\frac{2\pi}{3}}+e^{-i\frac{2\pi}{3}}=2\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\boxed{-1}$.

3. $\left|e^{i\theta}\right|=\sqrt{\cos^{2}(\theta)+\sin^{2}(\theta)}=1$. Puis $\overline{e^{i\theta}}=\cos(\theta)-i\sin(\theta)=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)=e^{-i\theta}$, et $e^{i\theta}e^{-i\theta}=e^{0}=1$, donc $e^{-i\theta}=\dfrac{1}{e^{i\theta}}$.