Exercice 19

1. Les deux nombres ont pour module $\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$, et : $$1+i=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \qquad ; \qquad 1-i=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ On reconnaît les cosinus et sinus de $\dfrac{\pi}{4}$ et de $-\dfrac{\pi}{4}$, d'où : $$\boxed{1+i=\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}} \qquad\text{et}\qquad 1-i=\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}}$$

2. Soit $n\in\mathbb{N}$. D'après la question précédente : $$\begin{aligned} S_n &= \left(\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^n+\left(\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}\right)^n\\ &= \left(\sqrt{2}\right)^n\left(e^{i\frac{n\pi}{4}}+e^{-i\frac{n\pi}{4}}\right) \end{aligned}$$ Or d'après la formule d'Euler, $e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos(\theta)$, d'où : $$\boxed{S_n=2\left(\sqrt{2}\right)^n\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)}$$

3. On traite les deux propositions séparément :

• Proposition A : Vraie. En effet, d'après la question précédente, $S_n$ s'écrit comme le produit de $2\left(\sqrt{2}\right)^n$ par $\cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)$, qui sont deux nombres réels. On peut aussi remarquer que $1-i=\overline{1+i}$, donc $S_n=(1+i)^n+\overline{(1+i)^n}=2\,\mathcal{R}e\left((1+i)^n\right)\in\mathbb{R}$.

• Proposition B : Vraie. En effet, comme $2\left(\sqrt{2}\right)^n\neq 0$ : $$S_n=0 \iff \cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)=0 \iff \frac{n\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi \;,\; k\in\mathbb{Z} \iff n=2+4k$$ Il existe donc bien une infinité d'entiers naturels $n$ tels que $S_n=0$, à savoir tous les entiers de la forme $n=2+4k$ avec $k\in\mathbb{N}$ : $$n\in\{2\,;6\,;10\,;14\,;\dots\}$$