Exercice 20

1. D'après la formule de Moivre, pour tout réel $x$ : $$\cos(3x)+i\sin(3x)=\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^3$$ On développe le membre de droite à l'aide de l'identité $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$, en posant $a=\cos(x)$ et $b=i\sin(x)$ : $$\begin{aligned} \left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^3 &= \cos^3(x)+3\cos^2(x)\,i\sin(x)+3\cos(x)\,i^2\sin^2(x)+i^3\sin^3(x)\\ &= \underbrace{\cos^3(x)-3\cos(x)\sin^2(x)}_{\in\mathbb{R}} +i\underbrace{\left(3\cos^2(x)\sin(x)-\sin^3(x)\right)}_{\in\mathbb{R}} \end{aligned}$$ En identifiant les parties réelles et imaginaires, puis en utilisant $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$ et $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$ : $$\begin{aligned} \cos(3x) &= \cos^3(x)-3\cos(x)\left(1-\cos^2(x)\right)=4\cos^3(x)-3\cos(x)\\ \sin(3x) &= 3\left(1-\sin^2(x)\right)\sin(x)-\sin^3(x)=3\sin(x)-4\sin^3(x) \end{aligned}$$

2. Il suffit d'isoler $\cos^3(x)$ et $\sin^3(x)$ dans les deux égalités précédentes : $$\cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x) \iff 4\cos^3(x)=3\cos(x)+\cos(3x)$$

$$\sin(3x)=3\sin(x)-4\sin^3(x) \iff 4\sin^3(x)=3\sin(x)-\sin(3x)$$ On en déduit donc que : $$\boxed{\cos^3(x)=\frac{3\cos(x)+\cos(3x)}{4} \qquad\text{et}\qquad \sin^3(x)=\frac{3\sin(x)-\sin(3x)}{4}}$$

3. On utilise cette fois les formules d'Euler : $$\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \qquad\text{et}\qquad \sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$ Pour le cosinus, on développe le cube à l'aide de l'identité $(a+b)^3$ : $$\begin{aligned} \cos^3(x) &= \frac{1}{8}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^3\\ &= \frac{1}{8}\left(e^{3ix}+3e^{2ix}e^{-ix}+3e^{ix}e^{-2ix}+e^{-3ix}\right)\\ &= \frac{1}{8}\left(\underbrace{e^{3ix}+e^{-3ix}}_{=\,2\cos(3x)} +3\underbrace{\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)}_{=\,2\cos(x)}\right)\\ &= \frac{2\cos(3x)+6\cos(x)}{8} \end{aligned}$$ Ce qui redonne bien $\cos^3(x)=\dfrac{3\cos(x)+\cos(3x)}{4}$. De la même façon pour le sinus, en remarquant que $(2i)^3=8i^3=-8i$ : $$\begin{aligned} \sin^3(x) &= \frac{1}{-8i}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)^3\\ &= \frac{1}{-8i}\left(e^{3ix}-3e^{ix}+3e^{-ix}-e^{-3ix}\right)\\ &= \frac{1}{-8i}\left(\underbrace{e^{3ix}-e^{-3ix}}_{=\,2i\sin(3x)} -3\underbrace{\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)}_{=\,2i\sin(x)}\right)\\ &= \frac{2i\sin(3x)-6i\sin(x)}{-8i} \end{aligned}$$ Ce qui redonne bien $\sin^3(x)=\dfrac{3\sin(x)-\sin(3x)}{4}$.