Exercice 21

On démontre ici l'égalité $\cos^2(x)\sin^2(x)=\dfrac{1-\cos(4x)}{8}$.

Soit $x$ un réel quelconque. On applique les formules d'Euler au produit $\cos(x)\sin(x)$ : $$\begin{aligned} \cos(x)\sin(x) &= \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\times\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\ &= \frac{\left(e^{ix}\right)^2-\left(e^{-ix}\right)^2}{4i}\\ &= \frac{e^{2ix}-e^{-2ix}}{4i} \end{aligned}$$ On élève alors cette égalité au carré, en remarquant que $(4i)^2=16i^2=-16$ : $$\begin{aligned} \cos^2(x)\sin^2(x) &= \frac{\left(e^{2ix}-e^{-2ix}\right)^2}{-16}\\ &= \frac{e^{4ix}-2e^{2ix}e^{-2ix}+e^{-4ix}}{-16}\\ &= \frac{\overbrace{e^{4ix}+e^{-4ix}}^{=\,2\cos(4x)}-2}{-16}\\ &= \frac{2\cos(4x)-2}{-16} \end{aligned}$$ On en déduit donc que pour tout réel $x$ : $$\boxed{\cos^2(x)\sin^2(x)=\frac{1-\cos(4x)}{8}}$$