Exercice 22 Racines $n$-ièmes de l'unité

1. Si $z^{n}=1$, alors $z\neq 0$ et, d'après la Proposition 4, $|z|^{n}=|z^{n}|=1$ ; comme $|z|$ est un réel positif, $\boxed{|z|=1}$. De plus $n\arg(z)\equiv\arg(z^{n})=\arg(1)\equiv 0\;[2\pi]$.

2. D'après la question 1, $z=e^{i\theta}$ avec $n\theta=2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$, soit $\theta=\dfrac{2k\pi}{n}$. Réciproquement, $\left(e^{i\frac{2k\pi}{n}}\right)^{n}=e^{2ik\pi}=1$. Enfin, deux valeurs de $k$ donnent le même nombre si et seulement si leurs arguments diffèrent d'un multiple de $2\pi$, c'est-à-dire si $k$ et $k'$ sont congrus modulo $n$ (chapitre 4) : il suffit de prendre $k\in\llbracket 0;n-1\rrbracket$, et l'on obtient $n$ racines distinctes.

3.

• $n=3$ : $1$, $e^{i\frac{2\pi}{3}}=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $e^{i\frac{4\pi}{3}}=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, c'est-à-dire $1$, $j$ et $j^{2}$ : on retrouve les solutions de $z^{3}=1$ de l'exercice 20 du chapitre 2.

• $n=4$ : $1$, $i$, $-1$, $-i$.

• $n=6$ : $\pm 1$, $\pm\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ et $\pm\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Les racines sixièmes de l'unité (en bleu pétrole) sont les sommets d'un hexagone régulier inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ ; une sur deux est une racine cubique de l'unité, sommet du triangle équilatéral en pointillés.

4. Comme $\omega_{1}\neq 1$ et $\omega_{1}^{n}=1$, la formule de la somme géométrique (Proposition 7 du chapitre 2) donne : $$1+\omega_{1}+\dots+\omega_{1}^{n-1}=\frac{\omega_{1}^{n}-1}{\omega_{1}-1}=0.$$ Or $\omega_{1}^{k}=e^{i\frac{2k\pi}{n}}=\cos\left(\dfrac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\dfrac{2k\pi}{n}\right)$ ; en séparant parties réelle et imaginaire, on obtient les deux sommes nulles.

Pour $n=3$, on retrouve $1+j+j^{2}=0$, utilisé dans l'exercice 20 du chapitre 2 ; l'exercice 9 en est une variante avec un décalage $x$, généralisée dans l'exercice 31.