Exercice 23 Multiplication par $e^{i\theta}$

1. D'après la Proposition 4, $|z'|=\left|e^{i\theta}\right||z|=|z|$, donc $OM'=OM$, et $\arg(z')\equiv\theta+\arg(z)\;[2\pi]$, c'est-à-dire $(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OM'})\equiv\theta\;[2\pi]$. Le point $M'$ s'obtient donc en tournant $M$ d'un angle $\theta$ autour de $O$ : c'est l'image de $M$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$.

2. Le point $C$ est l'image de $A$ par la rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, et $e^{i\frac{\pi}{2}}=i$ : $c=ia=i(3+i)=\boxed{-1+3i}$. Le quadrilatère $OABC$ est un carré lorsque $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$, et les coordonnées s'ajoutant, $b=a+c=\boxed{2+4i}$.

3. On a $d=e^{i\frac{\pi}{3}}a=\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(3+i)$, soit : $$\boxed{d=\frac{3-\sqrt{3}}{2}+i\,\frac{1+3\sqrt{3}}{2}} \approx 0{,}63+3{,}10\,i.$$ D'après l'exercice 4 : $OA=|a|=\sqrt{10}$, $OD=|d|=|a|=\sqrt{10}$ et $AD=|d-a|=\left|e^{i\frac{\pi}{3}}-1\right||a|$. Or $e^{i\frac{\pi}{3}}-1=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, de module $1$. Donc $AD=\sqrt{10}$ et $\boxed{OAD \text{ est équilatéral}}$.

Le carré $OABC$ (en violet) s'obtient avec un quart de tour, le triangle équilatéral $OAD$ (en ocre) avec un sixième de tour : multiplier une affixe par $e^{i\theta}$, c'est tourner.