Exercice 24 Une somme trigonométrique

1. On factorise : $e^{i\alpha}-1=e^{i\frac{\alpha}{2}}\left(e^{i\frac{\alpha}{2}}-e^{-i\frac{\alpha}{2}}\right)=e^{i\frac{\alpha}{2}}\times 2i\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)$, d'après la formule d'Euler pour le sinus. Ainsi $\boxed{e^{i\alpha}-1=2i\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)e^{i\frac{\alpha}{2}}}$.

2. $S$ est la somme des termes d'une suite géométrique de raison $e^{ix}$, différente de $1$ puisque $x\in\,]0;2\pi[$ : $$S=\frac{\left(e^{ix}\right)^{n+1}-1}{e^{ix}-1}=\frac{2i\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)e^{i\frac{(n+1)x}{2}}}{2i\sin\left(\frac{x}{2}\right)e^{i\frac{x}{2}}}=\boxed{e^{i\frac{nx}{2}}\,\frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}},$$ en appliquant la question 1 avec $\alpha=(n+1)x$ et $\alpha=x$ ; on a bien $\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0$.

3. Comme $e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx)$, on prend les parties réelle et imaginaire de $S$ : $$\boxed{\sum_{k=0}^{n}\cos(kx)=\frac{\cos\left(\frac{nx}{2}\right)\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)} \qquad\text{et}\qquad \sum_{k=0}^{n}\sin(kx)=\frac{\sin\left(\frac{nx}{2}\right)\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}}$$ Vérification pour $n=1$ : le membre de droite vaut $\dfrac{\cos\left(\frac{x}{2}\right)\sin(x)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}=\dfrac{\cos\left(\frac{x}{2}\right)\times 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}=2\cos^{2}\left(\frac{x}{2}\right)=1+\cos(x)$, ce qui est bien $\cos(0)+\cos(x)$.

La technique de la question 1, dite de l'arc moitié, est réutilisée dans les exercices 29, 34, 35 et 37.