Exercice 33 Calcul de $\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)$

a) $z^{5}=e^{2i\pi}=1$ et $z\neq 1$, donc $1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}=\dfrac{z^{5}-1}{z-1}=0$ (exercice 22).

b) $\dfrac{1}{z}=e^{-\frac{2i\pi}{5}}$, donc $z+\dfrac{1}{z}=2\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=x$ (formule d'Euler).

c) $x^{2}=z^{2}+2+\dfrac{1}{z^{2}}$. En divisant la relation a) par $z^{2}$, on obtient $z^{2}+z+1+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^{2}}=0$, c'est-à-dire $(x^{2}-2)+x+1=0$ : $\boxed{x^{2}+x-1=0}$. Comme $x>0$ ($\frac{2\pi}{5}<\frac{\pi}{2}$), $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$, d'où : $$\boxed{\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}} \approx 0{,}309.$$

d) $\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)>0$ et $\sin^{2}\left(\frac{2\pi}{5}\right)=1-\frac{(\sqrt{5}-1)^{2}}{16}=\frac{10+2\sqrt{5}}{16}$, d'où $\boxed{\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}\approx 0{,}951$.

On retrouve la méthode de l'exercice 25 du chapitre 2 (équation réciproque), et l'on remarque que $\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{10}\right)$, en accord avec l'exercice 32.