Exercice 32

a) Comme dans l'exercice 28, avec $c=\cos(x)$ et $s=\sin(x)$, la partie réelle de $(c+is)^{5}$ vaut $c^{5}-10c^{3}s^{2}+5cs^{4}$. En remplaçant $s^{2}$ par $1-c^{2}$ : $$\cos(5x)=c^{5}-10c^{3}(1-c^{2})+5c(1-c^{2})^{2}=16c^{5}-20c^{3}+5c, \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{P(X)=16X^{5}-20X^{3}+5X}.$$

b) Pour $x=\frac{\pi}{10}$, $\cos(5x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$, donc $c=\cos\left(\frac{\pi}{10}\right)$ vérifie $c\left(16c^{4}-20c^{2}+5\right)=0$. Comme $c>0$, $c^{2}$ est racine de $16X^{2}-20X+5=0$, de discriminant $80$ : $c^{2}=\frac{5\pm\sqrt{5}}{8}$. Or $\frac{\pi}{10}<\frac{\pi}{4}$, donc $c>\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $c^{2}>\frac{1}{2}$ ; seule la valeur $\frac{5+\sqrt{5}}{8}\approx 0{,}90$ convient ($\frac{5-\sqrt{5}}{8}\approx 0{,}35$). Ainsi : $$\boxed{\cos\left(\frac{\pi}{10}\right)=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}\approx 0{,}951.$$

L'autre valeur $\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}$ est $\cos\left(\frac{3\pi}{10}\right)$, puisque $5\times\frac{3\pi}{10}=\frac{3\pi}{2}$ annule aussi le cosinus.