Exercice 34

D'après la formule du binôme, $(1+e^{ix})^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}e^{ikx}$. Par la technique de l'arc moitié (exercice 29 avec $\alpha=0$, $\beta=x$), $1+e^{ix}=2\cos\left(\frac{x}{2}\right)e^{i\frac{x}{2}}$, d'où : $$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}e^{ikx}=2^{n}\left(\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right)^{n}e^{i\frac{nx}{2}}.$$ En prenant les parties réelle et imaginaire, on obtient les deux formules demandées. Vérification : pour $x=0$, la première donne $\sum\binom{n}{k}=2^{n}$.