Exercice 35

Si $z=i$, l'équation donne $0=(2i)^{n}$, ce qui est faux : une solution vérifie $z\neq i$, et l'équation équivaut à $w^{n}=1$ avec $w=\dfrac{z+i}{z-i}$. D'après l'exercice 22, $w=e^{i\theta_{k}}$ avec $\theta_{k}=\dfrac{2k\pi}{n}$, $k\in\llbracket 0;n-1\rrbracket$. Le cas $k=0$ est impossible, puisque $w=1$ donnerait $z+i=z-i$. Pour $k\in\llbracket 1;n-1\rrbracket$, on isole $z$ : $$z+i=w(z-i) \iff z(1-w)=-i(1+w) \iff z=-i\,\frac{1+e^{i\theta_{k}}}{1-e^{i\theta_{k}}}.$$ Par l'arc moitié, $1+e^{i\theta}=2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}$ et $1-e^{i\theta}=-2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}$ (exercice 24), d'où : $$\boxed{z=\frac{\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)}{\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)}, \qquad k\in\llbracket 1;n-1\rrbracket}$$ Ces $n-1$ nombres sont réels et distincts. Vérification pour $n=2$ : $z=\frac{\cos(\pi/2)}{\sin(\pi/2)}=0$, et en effet $(0-i)^{2}=(0+i)^{2}=-1$. Géométriquement, la relation impose $|z-i|=|z+i|$, donc $z$ réel (exercice 25) : c'est cohérent.