Exercice 2

1. Le module est la distance $OM$ et l'argument l'angle $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM})$, que l'on lit directement sur la figure :

• $3$ est sur la demi-droite des réels positifs : $|3|=3$ et $\arg(3)\equiv 0\;[2\pi]$ ;

• $-2$ est sur la demi-droite des réels négatifs : $|-2|=2$ et $\arg(-2)\equiv\pi\;[2\pi]$ ;

• $5i$ est sur la demi-droite des imaginaires purs positifs : $|5i|=5$ et $\arg(5i)\equiv\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$ ;

• $-i$ : $|-i|=1$ et $\arg(-i)\equiv-\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$ ;

• $1+i$ est sur la première bissectrice : $|1+i|=\sqrt{2}$ et $\arg(1+i)\equiv\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]$ ;

• $-1-i=-(1+i)$ : $|-1-i|=\sqrt{2}$ et $\arg(-1-i)\equiv\dfrac{\pi}{4}+\pi=\dfrac{5\pi}{4}\equiv-\dfrac{3\pi}{4}\;[2\pi]$ (Proposition 1).

2. On utilise les Propositions 1 et 4, avec $|i|=1$ et $\arg(i)\equiv\dfrac{\pi}{2}$ : $$\begin{aligned} |-z| &= 2, & \arg(-z) &\equiv\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{4\pi}{3}\equiv-\frac{2\pi}{3} ; \\ |\overline{z}| &= 2, & \arg(\overline{z}) &\equiv-\frac{\pi}{3} ; \\ |iz| &= 1\times 2=2, & \arg(iz) &\equiv\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6} ; \\ |z^{2}| &= 4, & \arg(z^{2}) &\equiv\frac{2\pi}{3} ; \\ \left|\frac{1}{z}\right| &= \frac{1}{2}, & \arg\left(\frac{1}{z}\right) &\equiv 0-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3} \quad [2\pi]. \end{aligned}$$

On remarque que $\overline{z}$ et $\dfrac{1}{z}$ ont le même argument : en effet $\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}}$, et $|z|^{2}$ est un réel positif.