Exercice 21

1. On lit sur le graphique les portions de courbe situées au-dessus ou au-dessous de l'axe des abscisses.

(a) La courbe $\mathcal{C}_{f}$ est au-dessus de l'axe entre ses deux racines $-2$ et $0$ : $$\boxed{f(x)>0 \iff x \in \;]-2\,;0[}$$

(b) La courbe $\mathcal{C}_{h}$ est au-dessous de l'axe entre ses deux racines $-6$ et $-2$, et le touche en ces deux points : $$\boxed{h(x)\leqslant 0 \iff x \in [-6\,;-2]}$$

(c) La courbe $\mathcal{C}_{g}$ est entièrement au-dessus de l'axe : $$\boxed{g(x)<0 \iff \mathcal{S}=\varnothing}$$

2. On reprend les expressions obtenues à l'exercice 7.

Pour $f(x)=-x^{2}-2x = -x(x+2)$, les racines sont $-2$ et $0$, et $a=-1<0$ :

On retrouve bien $f(x)>0$ sur $]-2\,;0[$.

Pour $h(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}+4x+6$, on a $\Delta = 16-12 = 4 > 0$ et $\sqrt{4}=2$. Comme $2a=1$ : $$x_{1}=\frac{-4-2}{1}=-6 \qquad\text{et}\qquad x_{2}=\frac{-4+2}{1}=-2$$ Avec $a=\dfrac{1}{2}>0$, on obtient :

On retrouve bien $h(x)\leqslant 0$ sur $[-6\,;-2]$.

Pour $g(x)=x^{2}-2x+2$, on a $\Delta = -4 < 0$ et $a=1>0$ : $g$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$, donc l'inéquation $g(x)<0$ n'a aucune solution.

3. La valeur $-2$ est l'ordonnée du sommet de $\mathcal{C}_{h}$, c'est-à-dire le minimum de $h$ : la droite d'équation $y=-2$ touche la courbe en un seul point. La valeur $-3$ est strictement inférieure à ce minimum : la droite d'équation $y=-3$ ne rencontre pas la courbe. $$\boxed{h(x)=-2 \text{ admet une unique solution ; } h(x)=-3 \text{ n'en admet aucune.}}$$