Exercice 20

On étudie à chaque fois le signe du trinôme, en cherchant d'abord ses racines.

1. $\Delta = 9-8 = 1 > 0$ et $\sqrt{1}=1$, donc $x_{1}=\dfrac{3-1}{2}=1$ et $x_{2}=\dfrac{3+1}{2}=2$. Comme $a=1>0$, le trinôme est positif à l'extérieur des racines. $$\boxed{\mathcal{S}=\;]-\infty\,;1[\;\cup\;]2\,;+\infty[}$$

2. $\Delta = -16 < 0$ et $a=1>0$ : le trinôme est strictement positif sur $\mathbb{R}$. $$\boxed{\mathcal{S}=\mathbb{R}}$$

3. $\Delta = 1+80 = 81 > 0$ et $\sqrt{81}=9$, donc $x_{1}=\dfrac{-1-9}{2}=-5$ et $x_{2}=\dfrac{-1+9}{2}=4$. Comme $a>0$, le trinôme est négatif entre les racines. $$\boxed{\mathcal{S}=[-5\,;4]}$$

4. $\Delta = 1-4 = -3 < 0$ et $a>0$ : le trinôme est strictement positif, jamais négatif. $$\boxed{\mathcal{S}=\varnothing}$$

5. $\Delta = 324-324 = 0$, racine double $-3$, et $a=3>0$ : le trinôme est positif, et nul uniquement en $-3$. $$\boxed{\mathcal{S}=\;]-\infty\,;-3[\;\cup\;]-3\,;+\infty[}$$

6. On a $-x^{2}-9 = -\big(x^{2}+9\big)$, qui est strictement négatif pour tout réel $x$. $$\boxed{\mathcal{S}=\varnothing}$$

7. Le produit $x(x-2)$ a pour racines $0$ et $2$, avec $a=1>0$ : il est négatif entre les racines. $$\boxed{\mathcal{S}=\;]0\,;2[}$$

8. $\Delta = 49-48 = 1 > 0$ et $\sqrt{1}=1$, donc $x_{1}=\dfrac{-7-1}{2}=-4$ et $x_{2}=\dfrac{-7+1}{2}=-3$. Comme $a>0$ : $$\boxed{\mathcal{S}=\;]-\infty\,;-4]\;\cup\;[-3\,;+\infty[}$$

9. $\Delta = 1+32 = 33 > 0$. Ici $a=-2$ et $b=-1$, donc $2a=-4$ : $$x_{1}=\frac{1-\sqrt{33}}{-4}=\frac{\sqrt{33}-1}{4} \approx 1{,}19 \qquad\text{et}\qquad x_{2}=\frac{1+\sqrt{33}}{-4}=-\frac{1+\sqrt{33}}{4} \approx -1{,}69$$ Ici $x_{2}<x_{1}$, car $a<0$. Comme $a=-2<0$, le trinôme est positif entre les racines : $$\boxed{\mathcal{S}=\;\left]-\frac{1+\sqrt{33}}{4}\,;\frac{\sqrt{33}-1}{4}\right[}$$

10. $\Delta = 576-576 = 0$, racine double $6$, et $a=2>0$ : le trinôme est positif, nul seulement en $6$. L'inégalité large n'est donc vérifiée qu'en ce point. $$\boxed{\mathcal{S}=\{6\}}$$

11. $\Delta = 16+48 = 64 > 0$ et $\sqrt{64}=8$, donc $x_{1}=\dfrac{-4-8}{2}=-6$ et $x_{2}=\dfrac{-4+8}{2}=2$. Comme $a>0$ : $$\boxed{\mathcal{S}=\;]-6\,;2[}$$

12. $\Delta = 25-28 = -3 < 0$ et $a>0$ : le trinôme est strictement positif sur $\mathbb{R}$. $$\boxed{\mathcal{S}=\mathbb{R}}$$

Piège des questions 5 et 10 : le cas $\Delta=0$ demande de l'attention. En 5. l'inégalité est stricte, donc la racine est exclue ; en 10. elle est large, donc la racine est la seule solution.