Exercice 19

1. Les racines sont $-2$ et $3$, et $a=2>0$ : $f(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines.

2. L'expression $-2\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}$ est le produit de $-2$ par un carré, donc toujours négative, et nulle seulement en $\frac{1}{3}$.

3. Ici $\Delta = 0-20 = -20 < 0$ et $a=1>0$ : $f(x)$ est du signe de $a$ sur $\mathbb{R}$.

4. $\Delta = 16+128 = 144 > 0$ et $\sqrt{144}=12$, donc : $$x_{1}=\frac{4-12}{4}=-2 \qquad\text{et}\qquad x_{2}=\frac{4+12}{4}=4$$ Comme $a=2>0$, le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines :

5. $\Delta = 576-576 = 0$, avec la racine double $x_{0}=-\dfrac{24}{18}=-\dfrac{4}{3}$. On reconnaît d'ailleurs $9x^{2}+24x+16=(3x+4)^{2}$, qui est positif et nul en $-\frac{4}{3}$.

6. $\Delta = 25-48 = -23 < 0$ et $a=2>0$ :

Piège : aux questions 2. et 5., le trinôme s'annule sans changer de signe. C'est le cas $\Delta=0$ : le signe reste celui de $a$ de part et d'autre de la racine.