Exercice 18

Comme $m \neq 1$, on a $a=m-1 \neq 0$ : l'équation $(E)$ est bien du second degré. Son discriminant vaut : $$\Delta = (-2)^{2}-4(m-1)(1-m) = 4-4(m-1)(1-m)$$ Or $(m-1)(1-m) = -(m-1)(m-1) = -(m-1)^{2}$, donc : $$\Delta = 4+4(m-1)^{2}$$ Un carré étant positif, on obtient $\Delta \geqslant 4 > 0$ : $$\boxed{\text{L'équation } (E) \text{ admet toujours deux racines distinctes } x_{1} \text{ et } x_{2}.}$$ D'après la proposition 4 du cours, leur produit vaut : $$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{1-m}{m-1} = \frac{-(m-1)}{m-1} = -1$$

$$\boxed{x_{1}x_{2}=-1<0 \text{ : les deux racines sont de signes opposés.}}$$ En effet, un produit de deux nombres non nuls est négatif si et seulement si ces deux nombres sont de signes contraires.