ExercicePremière, chapitre 1 — Second degré · Somme, produit et factorisation

Exercice 17

DémonstrationCalcul

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^{2}+4x-16$ .

1. Montrer que pour tout réel $x$ , $f(x)=2(x+4)(x-2)$ .

2. Montrer que pour tout réel $x$ , $f(x)=2(x+1)^{2}-18$ .

3. Choisir à chaque fois la forme la plus adaptée pour répondre aux questions suivantes.

(a) Dresser le tableau de variations de $f$ .

(b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x)=0$ .

(c) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x)=-16$ .

Corrigé

1. On développe le membre de droite : $2(x+4)(x-2) = 2\big(x^{2}-2x+4x-8\big) = 2\big(x^{2}+2x-8\big) = 2x^{2}+4x-16$

\boxed{\text{Pour tout réel } x,\; f(x)=2(x+4)(x-2).}

2. On développe de même : $2(x+1)^{2}-18 = 2\big(x^{2}+2x+1\big)-18 = 2x^{2}+4x+2-18 = 2x^{2}+4x-16$

\boxed{\text{Pour tout réel } x,\; f(x)=2(x+1)^{2}-18.}

3. (a) La forme canonique donne directement le sommet $(-1\,;-18)$ , et $a=2>0$ :

(b) La forme factorisée permet de résoudre par produit nul : $2(x+4)(x-2)=0 \iff x+4=0 \;\text{ ou }\; x-2=0$

\boxed{\mathcal{S}=\{-4\;;\;2\}}

(c) La forme canonique est la plus adaptée, car elle isole le carré : $2(x+1)^{2}-18=-16 \iff 2(x+1)^{2}=2 \iff (x+1)^{2}=1 \iff x+1=1 \;\text{ ou }\; x+1=-1$

$\boxed{\mathcal{S}=\{-2\;;\;0\}}$ Remarque : on aurait aussi pu développer, ce qui donne $2x^{2}+4x=0$ , soit $2x(x+2)=0$ . C'est tout l'intérêt de disposer de trois formes : chacune répond à une question différente sans calcul supplémentaire.

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